2) 是兩架飛機(jī)之間垂直距離的平均值，假設(shè)一架飛機(jī)的高度誤差的方差為一個(gè)常量，若 增大，則圖5－1中的整條曲線就向右平移，明顯的，在其他參數(shù)沒(méi)有改變的情況下，該密度函數(shù)在 附近的取值就會(huì)減小，則表示兩機(jī)發(fā)生危險(xiǎn)概率的陰影區(qū)面積就會(huì)減小，也就是兩機(jī)之間發(fā)生危險(xiǎn)的可能性就減小了。從公式上來(lái)說(shuō)，如果 很小的話， 就近似于：

  （5.7）

其中，

 

因此，

  （5.8）

對(duì) 求導(dǎo)，得：

  （5.9）

 

圖5－2 兩機(jī)之間垂直距離概率密度函數(shù)隨均方差的改變

概率 的斜率為負(fù)，表示 隨著 的增大而減小。從語(yǔ)言上描述 增大也就是兩架飛機(jī)各自所使用的高度層之間的高度差增大了，從飛行的實(shí)際情況來(lái)看，飛機(jī)之間在垂直方向上發(fā)生沖突的概率自然也會(huì)隨之而減小的。

3) 下面再看看 對(duì)概率 的影響，設(shè) 是固定的。從實(shí)際上看似乎飛機(jī)上所裝備的氣壓高度表越精確，也就是 越小，飛機(jī)之間發(fā)生危險(xiǎn)情況的可能性就會(huì)越小，然而從圖5－2就可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 為固定值時(shí)，減小 ，飛機(jī)之間發(fā)生危險(xiǎn)情況的可能性并不一定就減小，下面就從數(shù)學(xué)公式上來(lái)做一下討論。

對(duì)于一個(gè)給定的 ， 是在 處的一部分面積，當(dāng) 比較小的時(shí)候就有：

 

 

在該式中對(duì) 求導(dǎo)，得：

                （5.10）

令 可以知道該密度函數(shù)在 處相對(duì)于變量 的斜率值。

當(dāng) 時(shí)， 為非負(fù)； 當(dāng) 時(shí)， 為負(fù)。

這就表明了如下的結(jié)論：當(dāng) 取一定值的時(shí)候，如果 ， 會(huì)隨著 的減小而減小，而當(dāng) 時(shí)， 會(huì)隨著 的增大而減小, 其中 。這就是說(shuō)，至少?gòu)睦碚撋现v，在某些情況下，測(cè)量高度的方法越精確反而會(huì)導(dǎo)致更大的危險(xiǎn)概率。

5.4 考慮到飛機(jī)上升及下降后飛機(jī)之間垂直距離的數(shù)學(xué)模型

以上討論了飛機(jī)在空中飛行時(shí)，在垂直方向上距離的最基本的數(shù)學(xué)模型，其中沒(méi)有對(duì)飛機(jī)在垂直方向上有機(jī)動(dòng)動(dòng)作的情況進(jìn)行考慮，如果考慮得比較全面一點(diǎn)，考慮飛機(jī)爬升下降的情況，則此時(shí)飛機(jī)之間在垂直方向上的距離的平均值就不再是一個(gè)固定的值,而是一個(gè)隨時(shí)間改變的分段隨機(jī)函數(shù)了，假設(shè)飛機(jī)原來(lái)的高度分別為 ，各自開始改變高度的時(shí)間為 ，其爬升下降率分別為 ，改變高度的目的高度為 ， ，具體的判斷方法是：

A． 先判斷兩架飛機(jī)中的哪一架先開始爬升下降的，

B． 當(dāng)時(shí)間小于第一架改變高度的飛機(jī)（令這架飛機(jī)為飛機(jī)1）爬升下降的時(shí)間的時(shí)候，兩架飛機(jī)都還在保持平飛狀態(tài)，他們之間的垂直距離的平均值依然是：

  （5.11）

C． 當(dāng)時(shí)間大于第一架改變高度的飛機(jī)爬升下降的時(shí)間的時(shí)候，兩架飛機(jī)有可能為如下六種可能的狀態(tài)，他們之間的垂直距離分別為：

a． 飛機(jī)1在改變高度，飛機(jī)2在原高度上平飛，垂直距離為：

  （5.12）

b． 飛機(jī)1在改變高度，飛機(jī)2也在改變高度，垂直距離為：

  （5.13）

c． 飛機(jī)1在改變高度，飛機(jī)2改變高度完畢，在目的高度上平飛，垂直距離為：

  （5.14）

d． 飛機(jī)1改變高度完畢，飛機(jī)2在原高度上平飛，垂直距離為：

  （5.15）

e． 飛機(jī)1改變高度完畢，飛機(jī)2在改變高度，垂直距離為：

  （5.16）

f． 飛機(jī)1改變高度完畢，飛機(jī)2改變高度完畢，垂直距離為：

  （5.17）

值得注意的是，從以上給出的算式中可以看出，飛機(jī)的爬升下降率應(yīng)該是有符號(hào)的，但是這里的符號(hào)并不是那么簡(jiǎn)單的爬升為正下降為負(fù)了，而是根據(jù)兩架飛機(jī)之間的垂直距離的改變情況來(lái)定的，若飛機(jī)改變高度的方向會(huì)令兩機(jī)之間的垂直距離減小的話其爬升下降率取正，反之，若飛機(jī)改變高度的方向會(huì)令兩機(jī)之間的垂直距離增大的話則其爬升下降率取負(fù)，具體說(shuō)來(lái)就是指在比較低高度飛行的飛機(jī)上升高度的話，其爬升率取正值，下降高度的話則取負(fù)值；反之，在較高高度上飛行的飛機(jī)上升高度的話，其爬升率取負(fù)值，下降高度的話則取正值。這一點(diǎn)在對(duì)相應(yīng)的仿真計(jì)算程序作數(shù)據(jù)輸入的時(shí)候要特別注意。