本講義的第一篇屬于第一種研究方向，從研究飛機(jī)在空中飛行時的位置誤差入手，分別分析那些因素對飛行在空中的飛行位置會產(chǎn)生影響，以及影響的程度。而本篇主要是從第二個研究方向入手，對飛行在航路上的飛機(jī)在其周圍進(jìn)行碰撞危險區(qū)的建模，主要采用在國外間隔標(biāo)準(zhǔn)安全評估工作中一直使用的REICH碰撞危險模型進(jìn)行研究，并根據(jù)圖1－2對模型中的主要參數(shù)進(jìn)行取值或給出頻率分布。因?yàn)槿≈颠^程較為復(fù)雜，一些參數(shù)都是服從一定的概率分布的，因此要想對最終的空域碰撞危險進(jìn)行預(yù)測，就只能通過隨機(jī)采樣取值的Monte Carlo方法對這些參數(shù)在其分布范圍內(nèi)隨機(jī)取值，并最終給出總碰撞危險的分布范圍。

利用碰撞危險模型不僅可以對現(xiàn)行間隔標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行安全性評估，對將要實(shí)施修改的間隔標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行預(yù)測性安全評估，還可以在已知需要達(dá)到的安全目標(biāo)等級情況下，計算出目前條件下可實(shí)現(xiàn)的最小間隔標(biāo)準(zhǔn)，以減少空域資源的浪費(fèi)，減輕空域交通擁擠，圖1－3反映了這個過程。

圖1－3 碰撞危險模型在確定最小間隔標(biāo)準(zhǔn)上的實(shí)際應(yīng)用

本篇的第二章將對研究過程中使用的方法和數(shù)學(xué)計算有關(guān)知識進(jìn)行介紹，第三章將對碰撞危險的有關(guān)知識進(jìn)行介紹，從第四章開始將分別對側(cè)向、垂直方向和縱向的碰撞危險的計算進(jìn)行分別討論，由于在討論縱向碰撞危險時缺乏數(shù)據(jù)，因此將它和三個方向上的總碰撞危險以及圖1－3中“安全目標(biāo)等級”模塊和“確定最小間隔標(biāo)準(zhǔn)”模塊放在一起在第六章里進(jìn)行介紹。

本篇內(nèi)容只是對間隔標(biāo)準(zhǔn)的安全評估提供一個行之有效的框架結(jié)構(gòu)，一些方法還尚未完善，在今后的評估過程中還需要研究人員對大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，以保證評估結(jié)果的精確可靠。

第二章 數(shù)學(xué)與計算的有關(guān)知識

2.1  有關(guān)的概率論知識

在許多問題的研究中，經(jīng)常會碰到研究一個隨機(jī)變量所取的值落在一個區(qū)間的概率： ,但由于 ＝ - ,所以只需知道 和 就可以了。

設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(X)=  稱為X的分布函數(shù)。對于隨機(jī)變量X的的分布函數(shù)F(X)，存在非負(fù)函數(shù) ，使對于任意實(shí)數(shù)x有：F(X)= ，則稱x為隨機(jī)型變量，其中 稱為x的概率密度函數(shù)。

由定義可知，概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：

1. f（x） 0

2. ＝1

3. x落在區(qū)間（x1，x2）的概率等于該區(qū)間上曲線y＝f（x）之下的面積。

在本課題中將要討論的很多變量例如在不同偏航距離下的偏航飛機(jī)數(shù)、相鄰航線上飛機(jī)的側(cè)向相對速度 以及飛機(jī)在空中飛行的相對地速 的概率密度函數(shù)的形式都如下所示：

f（x）＝     

其中 為常數(shù)，并稱服從這樣概率密度的X服從正態(tài)分布或高斯分布，記為 ,概率密度函數(shù)如左圖所示。當(dāng)已知某變量服從正態(tài)分布或根據(jù)所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后是服從正態(tài)分布時，就可根據(jù)左圖所表示的關(guān)系算出 。

本課題中還要用到的分布就是Poisson分布，它主要涉及到進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，觀察到某種結(jié)果k次的概率的計算。比如說，進(jìn)行10組試驗(yàn)，每次都扔8次硬幣，那么理論上每組試驗(yàn)觀察到正反面的比例都應(yīng)該是50％，但是實(shí)際上每組觀察到的結(jié)果都可能不盡相同。

設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，每次觀察到某一結(jié)果的概率為  ，則最終觀測到k次這樣的結(jié)果的概率為：

  

其中 >0是一個常數(shù)， ，n趨于無窮大。那么在本課題中k就對應(yīng)著觀測到較大誤差的次數(shù) ， 就對應(yīng)著理論上應(yīng)觀測到的次數(shù)值 。

 在對相鄰航線飛機(jī)間丟失側(cè)向間隔的概率 進(jìn)行計算時，就涉及到相鄰航線上每架飛機(jī)丟失一定間隔的概率，這在概率論中是一個二維隨機(jī)變量的問題，即對于某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果需要同時用兩個隨機(jī)變量來描述。與一維隨機(jī)變量相似，對于二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)F(X,Y)，也存在非負(fù)的函數(shù) ，使對于任意x，y有

F(X,Y)＝                                       

函數(shù) 是變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度。當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的發(fā)生相互獨(dú)立時， =f(x)*f(y)。在本課題中x，y分別代表兩架飛機(jī)偏航的距離，因此要使這兩架飛機(jī)不相撞，就必須滿足 。則計算 就轉(zhuǎn)換為計算 。

概率論中“數(shù)學(xué)期望”又稱均值，定義為 ，當(dāng)不需知道變量的全部變化而只需知道的平均值時，就需要求該變量的數(shù)學(xué)期望。在本課題中，當(dāng)對 的概率密度曲線尾部進(jìn)行插值后，得到了許多條插值曲線，這時就需要對該部分函數(shù) ＝r ＋（1－r） 求數(shù)學(xué)期望，并且滿足以下性質(zhì)：

1. E(C)=C,其中C是常數(shù)。

2. E(CX)=CE(X)

3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

在本論文的大量計算中，用到了高等數(shù)學(xué)中的分部積分公式,即：

 

本篇中推導(dǎo)縱向間隔標(biāo)準(zhǔn)碰撞危險評估算式時，由于考慮到通信和管制員干預(yù)緩沖區(qū)的概念，則縱向的碰撞危險就不僅僅包括由于導(dǎo)航誤差而導(dǎo)致的實(shí)際位置與理論位置不符而帶來的危險，還應(yīng)該包括由于飛行員和管制員進(jìn)行通訊時所占用的時間而帶來的碰撞危險，總碰撞危險應(yīng)是這兩者之和，這就涉及到概率論中兩個隨機(jī)變量的函數(shù)分布的概念。

記Z=X+Y,（X,Y）的概率密度為f（x，y）則Z=X+Y的分布函數(shù)為：

 

在X和Y相互獨(dú)立時，上式中的f（x，y）可表示為：

 

以上公式稱為卷積公式。

2.2  MONTE CARLO方法

早在17世紀(jì)，人們就把頻率作為概率的近似值。如果概率計算發(fā)生困難或錯誤，人們就可以通過隨機(jī)試驗(yàn)來得到頻率并用它解決問題。然而在當(dāng)時隨機(jī)試驗(yàn)卻受到一定的限制，因?yàn)橐�使計算結(jié)果的準(zhǔn)確度足夠高，就需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)相當(dāng)大，因此這種冗長的人工計算在當(dāng)時是被認(rèn)為不可能的。